È ben noto il concetto di funzione: una relazione che associa a ogni e ciascun elemento di un insieme, chiamato dominio, un solo elemento di un altro insieme chiamato codominio.
Un esempio che si può portare è f(x)=x, con x reale. Noi stiamo però definendo il dominio a partire dalla funzione, sebbene in contesti più avanzati vengono dichiarati prima il dominio e il codominio (in questo caso ℝ per entrambi) e solo dopo la legge che stabilisce la funzione.
La definizione fa la differenza
Quello che abbiamo scritto prima può essere riscritto più correttamente con f: ℝ→ℝ, f(x)=x. Se definissi adesso g: ℝ*→ℝ, g(x)=x, questa funzione non sarebbe definita in 0, mentre la prima sì. È il classico esito “L’espressione non ha significato” che si trovava sempre negli esercizi del liceo. Si può anche essere più formali di così, e al posto di scrivere f(x)=x, si può scrivere anche f: x↦x. Questo simbolo ↦ si legge “mappa a” e indica la legge che la funzione deve osservare. Unendo tutto si ha f: ℝ→ℝ, x↦x e g: ℝ*→ℝ, x↦x.
Numeri in linea? No, in piano
Un altro concetto matematico che per questa spiegazione dovremmo tenere a mente è quello dei numeri complessi. Essi sono scritti nella forma a+bi, con a e b due numeri reali, con a chiamato componente reale e b componente immaginaria. i è una costante detta costante immaginaria, e si comporta come l’1 per la somma: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Ma i^2=-1, e (a+bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)i. L’insieme dei numeri complessi è chiamato ℂ. ℂ non è totalmente ordinabile, non c’è un numero complesso “più grande” di un altro, ed è facile da dimostrare: se i>0, allora i^2>0 perché prodotto di due positivi, ma i^2=-1 che… non è positivo! Se i>0 è assurdo, allora è vero che i<0? No, perché posso elevare al quadrato anche questa volta e trovarmi -1>0, lo stesso assurdo che ha scartato i>0! Non resta che arrendersi e di accettare che ℂ non è totalmente ordinabile. Possiamo, vista la “perpendicolarità” tra 1 e i, rappresentare ℂ con un piano, i cui punti sono i suoi elementi.
Perché questi due concetti importano?
Perché adesso definiremo una particolare successione in ℂ: z=z^2+c, con c un numero complesso a nostra scelta. Questa è una successione definita per ricorrenza, cioè i termini sono stabiliti in funzione dei precedenti, in questo caso f: ℂ→ℂ, z↦z^2+c. Questa funzione definita per ricorrenza induce un sistema dinamico, dove si possono studiare le successioni date dai numeri ottenuti applicando ogni volta f. Dato un numero complesso z0, si ha z1=z0^2+c, z2=z1^2+c eccetera. La successione z0, z1, z2, z3, … è chiamata orbita di z0.
Le c non sono tutte uguali
Nei primi del Novecento il matematico francese Gaston Julia era interessato a studiare il carattere dell’orbita al variare del valore iniziale di z ma mantenendo c costante: si è accorto che per ogni c esisteva un insieme di punti di inizio tali che l’orbita o convergeva in un punto o oscillava lungo lo stesso ciclo di punti, e un altro insieme di z iniziali con le orbite che divergevano verso valori infiniti (nel campo complesso non esiste +∞ o -∞). La linea che separava le due regioni di punti prese il nome di insieme di Julia, mentre la regione dove le orbite non divergevano prese il nome di insieme di Fatou, dal collega connazionale Pierre Fatou. Nell’immagine (trovata su Wikimedia Commons) il caso con c=0,35+0,35i, l’insieme di Fatou è in nero e quello di Julia il suo contorno.
Com'è fatto un insieme di Julia?
Un caso irrisolto era però il seguente: per quali c gli insiemi di Julia formano un’unica linea e per quali essi erano costituiti da un numero infinito di punti disconnessi (polvere di Fatou)?
Il problema vide un primo avvicinamento alla risoluzione mediante alcune proprietà della successione:
- Se in qualsiasi iterazione z superava in valore assoluto 2, allora l’orbita diverge;
- Se si pone z iniziale uguale a 0 e l’orbita diverge, allora l’insieme di Julia per quel valore di c non è connesso.
Sarebbe quindi bastato cambiare la definizione di z e c nella successione per avere una mappa di se l’insieme di Julia è connesso o meno: z da che era il punto per il quale si cercava a che regione apparteneva diventa 0, e c da che era una costante definita per tutta la mappa diventa il punto da mappare. Lo studio del carattere resta lo stesso.
Per avere un minimo di idee di come sembrava la mappa, nel 1980 Benoît Mandelbrot (in arte Benoît B. Mandelbrot, perché la B. stava per Benoît B. Mandelbrot) utilizzò un computer IBM per trovare i punti per i quali l’orbita divergeva o meno: uscì fuori con ciò che si vede a destra.
Più tardi, con tecniche computazionali più prestanti, si è aggiunta anche una scala colorata a indicare la velocità di divergenza dell’orbita a partire da ciascun punto, e ciò ha fatto scoprire che i colori possono essere disposti in un modo che crea delle immagini di infinito dettaglio con dei speciali connotati artistici. Vi basta cercare “Mandelbrot set zoom” su YouTube per darvi un’idea.
Dario Sanfilippo, Redazione SSC UniCT
"Sono sicuro che è più facile imparare la matematica che non il baseball." Albert Einstein al giocatore di baseball Moe Berg, ante 1941
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