Tutti noi sappiamo che 3⋅2=6, che 6⋅4=24, e via dicendo per tutte le tabelline. E se vi dicessi che esiste un insieme dove 3⋅2=0 o un altro dove 6⋅4=3?
Non state sognando, perché quelli che all’apparenza sembrano numeri, in questi ultimi esempi in realtà sono classi residue.
Ma partiamo con calma dall’inizio.
L'insieme ℤ
Ricordate l’insieme ℤ? È l’insieme che comprende tutti i numeri interi positivi e negativi. Da questo insieme otteniamo gli insiemi nℤ, intendendo con n un numero naturale diverso da 0. L’insieme nℤ comprende solo i numeri interi multipli di n (ad esempio l’insieme 2ℤ ha solo i numeri pari). Applicando alcune teorie*, giungiamo alla composizione dell’insieme ℤ/nℤ (leggasi ℤ quoziente nℤ), o ℤn.
Esso comprende le classi residue modulo n (intendendo con n un numero naturale qualsiasi), che funzionano come i numeri naturali da 0 a n-1 e che a loro volta comprendono i multipli di n a cui viene aggiunto il numero della classe.
*Formando ℤ con le convenzionali addizione e moltiplicazione un anello, nℤ è, date le sue proprietà da sottoanello e da come ogni intero moltiplicato per un multiplo di n risulta multiplo di n anche questo, un ideale di ℤ; L’insieme quoziente tra un anello e un ideale è lo stesso che si ottiene quozientando l’insieme dell’anello principale con la relazione di equivalenza che considera due elementi dell’anello equivalenti se la loro differenza è nell’ideale.
La classe residua
La classe residua 1 modulo 4, che in gergo tecnico si scrive [1]4, è la rappresentazione di quei numeri che se divisi per 4 resta 1: 1, 5, 9, 13 e anche -3, -7, -11 e via dicendo in entrambe le direzioni.
Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono definite come se le classi fossero numeri normali, ricordandosi che, se due numeri differiscono di un multiplo di n, sono uguali in ℤn per la definizione di quoziente. Allora in ℤ6 3⋅2=6=0 e in ℤ7 6⋅4=24=3. La divisione è definita solo se n è primo*, e la potenza e la radice quadrata non sono definite.
* In ℤ6, per esempio, il numero 2 non ha un inverso, cioè un elemento che se moltiplicato per il numero stesso dà 1. In ℤ7, invece, ogni elemento diverso da 0 ha un inverso: 1 e 6 sono inversi di sé stessi, 2 e 4 sono inversi tra di loro come per 3 e 5. L’inverso è presente per tutti gli ℤp, e quindi ammettono la divisione come nell’insieme ℚ, moltiplicando per l’inverso; quindi 5/4 in ℤ7 sarebbe uguale a 5⋅2=3.
Le 24:60 del 32 undicembre
Un’importante applicazione di questo campo dell’aritmetica, detto aritmetica modulare, è quella di computare il tempo. Infatti, quando pensiamo ai calcoli aritmetici utilizzati per contare il tempo, notiamo che solo gli anni sono computati su un numero infinitamente progressivo, mentre il resto è limitato a intervalli finiti di numeri o equivalenti: non esistono le 24:60 del 32 undicembre!
A progredire in maniera modulare sono anche i giorni della settimana: alla domenica segue sempre il lunedì, e così via in un ciclo. In questo caso, il giorno della settimana coinciderebbe con un numero progressivo del giorno modulo 7. Se definissimo un giorno 0, che in astronomia è un lunedì oltre 6700 anni fa, e si contassero i giorni a partire da quello, tutti i giorni multipli di 7 sarebbero lunedì.
La progressione modulare nei giorni dell’anno
Si può ideare anche una progressione modulare nei giorni dell’anno, sempre modulo 7: il primo gennaio è indicato con la lettera A, il 2 gennaio con la B, il 7 con la G, l’8 con la A, avanti fino al 31 dicembre, che tornerebbe a coincidere con la A (negli anni bisestili si parte, invece, con la G).
A lettera uguale corrisponde lo stesso giorno della settimana, perché le due progressioni seguono un ciclo della stessa lunghezza.
Da questa categorizzazione dei giorni notiamo come il primo giorno di ciascun mese corrisponde con le lettere A, D, D, G, B, E, G, C, F, A, D, F (G, C, D, G, B, E, G, C, F, A, D, F negli anni bisestili).
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Numero
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Gennaio
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Febbraio
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Marzo
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Aprile
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Maggio
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Giugno
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Luglio
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Agosto
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Settembre
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Ottobre
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Novembre
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Dicembre
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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1, 8, 15, 22
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A
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D
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D
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G
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B
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E
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G
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C
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F
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A
|
D
|
F
|
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2, 9, 16, 23
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B
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E
|
E
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A
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C
|
F
|
A
|
D
|
G
|
B
|
E
|
G
|
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3, 10, 17, 24
|
C
|
F
|
F
|
B
|
D
|
G
|
B
|
E
|
A
|
C
|
F
|
A
|
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4, 11, 18, 25
|
D
|
G
|
G
|
C
|
E
|
A
|
C
|
F
|
B
|
D
|
G
|
B
|
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5, 12, 19, 26
|
E
|
A
|
A
|
D
|
F
|
B
|
D
|
G
|
C
|
E
|
A
|
C
|
|
6, 13, 20, 27
|
F
|
B
|
B
|
E
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G
|
C
|
E
|
A
|
D
|
F
|
B
|
D
|
|
7, 14, 21, 28
|
G
|
C
|
C
|
F
|
A
|
D
|
F
|
B
|
E
|
G
|
C
|
E
|
|
29
|
A
|
|
D
|
G
|
B
|
E
|
G
|
C
|
F
|
A
|
D
|
F
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30
|
B
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|
E
|
A
|
C
|
F
|
A
|
D
|
G
|
B
|
E
|
G
|
|
31
|
C
|
|
F
|
|
D
|
|
B
|
E
|
|
C
|
|
A
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Essendoci tutte le lettere tra la A e la G, esiste per ogni anno un primo giorno del mese che è anche un dato giorno della settimana. Scendendo uniformemente lungo le date dei singoli giorni, infatti, si può giungere alla seguente conclusione: scegliendo una qualsiasi data fino al 30, si può trovare, nel corso dell’anno, almeno un giorno della settimana che abbia quel numero, con la conclusione, per qualcuno amara, che ogni anno ha almeno un venerdì 17.
“Sono sicuro che è più facile imparare la matematica che non il baseball.”
Dario Sanfilippo
Redazione SSC UniCT
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