Curve ellittiche: l’aritmetica incontra la geometria

Una rivoluzionaria conquista concettuale del secolo scorso è la realizzazione che molte questioni di natura aritmetica sono in larga misura governate da leggi geometriche. Le curve ellittiche sono uno degli strumenti centrali di questa direzione di ricerca: si tratta di oggetti geometrici (curve) con ricche proprietà algebriche (struttura di gruppo) che ormai da tempo vengono utilizzati con grande successo per studiare problemi aritmetici. In questa pillola vorrei presentare una questione aritmetica dall’aria ingannevolmente semplice e mostrare come la sua soluzione – essenzialmente grafica! - conduca naturalmente a parlare di curve ellittiche e della loro struttura di gruppo. Discuterò inoltre come spesso abbia particolare rilevanza la comprensione dei punti di ordine finito all’interno della struttura di gruppo: si tratta di questioni (in buona parte risolte) che, fra le molte applicazioni, hanno giocato un ruolo fondamentale anche nella dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat. Eventuali pubblicazioni rappresentative dell’attività di ricerca open source da poter mettere a disposizione degli allievi SSC: D. Lombardo. Bounds for Serre's open image theorem for elliptic curves over number fields. arXiv:1403.3813 D. Lombardo, S. Tronto. Some uniform bounds for elliptic curves over Q. arXiv: 2106.09950